Question

已知函數ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，其中t為常數，且t＞0．
（Ⅰ）求函數f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）數列{a_n}中，a1=

2

3

，a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，求{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）證明：對任意的x＞0，an≥f

1

2n

(x)，n=1，2，…．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f_t′（x）=0得到x的值，利用x的取值討論導函數的正負即可得到函數的單調性，得出函數的最大值；
（Ⅱ）由a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，等式兩邊都除以2a_n+1•a_n得到

1

an+1

=

1

2

•

1

an

+

1

2

即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)得到數列{

1

an

-1}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列，根據等比數列的性質得到通項公式；
（Ⅲ）令t=

1

2n

，則f

1

2n

(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

1

2n

-x)，由（1）知f

1

2n

（t）最大，得到an≥f

1

2n

(x)(n=1，2，)不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）由ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，得
則ft′(x)=-

1

(1+x)2

-

-(1+x)2-(t-x)•2(1+x)

(1+x)4

=

2(t-x)

(1+x)3

（2分）
∵x＞0，
∴當x＜t時，f'_t（x）＞0；當x＞t時，f'_t（x）＜0，
∴當x=t時，f_t（x）取得最大值ft(t)=

1

1+t

．（4分）
（Ⅱ）由題意知

1

an+1

=

1

2

•

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)（6分）
∴數列{

1

an

-1}是以

1

a1

-1=

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列，
∴

1

an

-1=

1

2

•(

1

2

)n-1，即a_n=

2n

2n+1

（8分）
（Ⅲ）令t=

1

2n

＞0，則f

1

2n

(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

1

2n

-x)（10分）
由（Ⅰ）可知，f

1

2n

(x)≤f

1

2n

(

1

2n

)=

1

1+ 1 2n

=

2n

2n+1

=an．（13分）
∴對任意的x＞0，不等式an≥f

1

2n

(x)(n=1，2，)成立．（14分）

點評：考查學生利用導數求閉區間上函數最值的能力，利用數列的遞推式求數列通項公式的能力，以及會證明不等式恒成立的條件．