Question

數列滿足，（），是常數．
(1)當時，求及的值；
(2)數列是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；
(3)求的取值范圍，使得存在正整數，當時總有。

Answer 1

，，
不可能為等差數列，

解析解: (1)由于，且．
所以當時，得，故．                    ………2分
從而．                             ………4分
(2)數列不可能為等差數列，證明如下：由，
得，，．
若存在，使為等差數列，則，即，
解得．                                               ………6分
于是，．這與為
等差數列矛盾．所以，對任意，都不可能是等差數列．    ………8分
(3)記，根據題意可知，且，即
且，這時總存在，滿足：
當時，；當時，．                  ……9分
所以由及可知，若為偶數，則，從而當時，；若為奇數，則，從而當時．              ………10分
因此“存在，當時總有”的充分必要條件是： 為偶數，
記，則滿足． ………12分
故的取值范圍是．             ………13分