Question

在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a，b，c，已知tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，且最長邊的邊長為1，求：
（1）角C的大小；
（2）△ABC最短邊的長．

Answer 1

分析：（1）由三角形的內(nèi)角和定理得到C=π-（A+B），然后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，將tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性由tanB小于tanA，得到B小于A，即b小于a，由C為鈍角得到最長的邊為c，最短的邊為b，根據(jù)tanB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，由sinB，sinC和c的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答：解：（1）tanC=tan[π-（A+B）]
=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=-1，
∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

；
（2）∵0＜tanB＜tanA，
∴A、B均為銳角，則B＜A，
又C為鈍角，∴最短邊為b，最長邊長為c，
由tanB=

1

3

，解得sinB=

10

10

，
由

b

sinB

=

c

sinC

，
∴b=

c•sinB

sinC

=

1× 10 10

2 2

=

5

5

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡求值，靈活運(yùn)用正弦定理及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，是一道中檔題．