Question

設數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足關系式：3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設數列{a_n}是公比為f（t），作數列{b_n}，使b1=1，bn=f(

1

bn-1

)（n=2，3，4，…），求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1；
（3）若t=-3，設c_n=log₃a₂+log₃a₃+log₃a₄+…+log₃a_n+1，T_n=

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

，求使k

n•2n+1

(n+1)

≥（7-2n）T_n（n∈N⁺）恒成立的實數k的范圍．

Answer 1

分析：（1）由

3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(n≥2) 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t(n≥3)

可求得

an

an-1

=

2t+3

3t

（n=3，4，…），又a₁=1，a₂=

2t+3

3t

，可證數列{a_n}是首項為1，公比為

2t+3

3t

的等比數列；
（2）依題意可求得f（t）=

2

3

+

1

t

，b_n=f（

1

bn-1

）=

2n+1

3

，可知數列{b_2n-1}與{b_2n}是首項分別為1和

5

3

，公差均為

4

3

的等差數列，且b_2n=

4n+1

3

，從而可求得b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1；
（3）可求得c_n=-

n(n+1)

2

，

1

cn

=-

2n

n+1

，數列{

1

cn

}的前n項和為-

2n

n+1

，對k

n•2n+1

(n+1)

≥（7-2n）T_n（n∈N⁺）化簡得k≥

2n-7

2n

對任意n∈N^*恒成立，再構造函數d_n=

2n-7

2n

，對n分類討論，研究函數，{d_n}與{c_n}的單調性即可求得k的取值范圍．

解答：解：（1）由S₁=a₁=1，S₂=a₁+a₂=1+a₂，得3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，則a₂=

2t+3

3t

，于是

a2

a1

=

2t+3

3t

，
又

3tSn-(2t+3)Sn-1=3t 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t

兩式相減得3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
于是

an

an-1

=

2t+3

3t

（n=3，4，…）
因此，數列{a_n}是首項為1，公比為

2t+3

3t

的等比數列．
（2）按題意，f（t）=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，
故b_n=f（

1

bn-1

）=

2

3

+b_n-1⇒b_n=1+

2

3

（n-1）=

2n+1

3

，
由b_n=

2n+1

3

，可知數列{b_2n-1}與{b_2n}是首項分別為1和

5

3

，公差均為

4

3

的等差數列，且b_2n=

4n+1

3

，
于是b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-

4

3

（b₂+b₄+…+b_2n）
=-

4

9

（2n²+3n）
（3）c_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-（1+2+3+…+n）
=-

n(n+1)

2

．
故

1

cn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

）．
T_n=

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=-

2n

n+1

．
所以數列{

1

cn

}的前n項和為-

2n

n+1

．化簡得k≥

2n-7

2n

對任意n∈N^*恒成立．
設d_n=

2n-7

2n

，則d_n+1-d_n=

2(n+1)-7

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-2n

2n

．
當n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}為單調遞減數列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}為單調遞增數列．
當n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}為單調遞減數列，當1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調遞增數列．

1

16

=d₄＜d₅=

3

32

，所以，n=5時，d_n取得最大值為

2

32

．
所以，要使k≥

2n-7

2n

對任意n∈N^*恒成立，k≥

3

32

．

點評：本題考查等比關系的確定，考查數列與不等式的綜合，突出考查等差數列的求和與等比數列的證明，考查化歸思想與分類討論思想，屬于難題．