Question

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°．設

AB

=

a

，

AC

=

b

，若

AO

=m

a

+n

b

，則m-n=

-

1

2

．

Answer 1

分析：建立直角坐標系，求出三角形各頂點的坐標，因為O為△ABC的外心，把AB的中垂線p方程和AC的中垂線q的方程，聯立方程組，求出O的坐標，利用已知向量間的關系，待定系數法求m和n的值．

解答：解：如圖：以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：
則A（0，0），B （2，0），C（-

1

2

，

3

2

），
∵O為△ABC的外心，
∴O在AB的中垂線p：x=1 上，又在AC的中垂線 q 上，
AC的中點（-

1

4

，

3

4

），AC的斜率為-

3

，
∴中垂線q的方程為 y-

3

4

=-

3

3

（x+

1

4

）．
把直線p和q的方程聯立方程組解得△ABC的外心O（1，

2 3

3

），
由條件

AO

=m

a

+n

b

，
得（1，

2 3

3

）=m（2，0）+n（-

1

2

，

3

2

）=（2m-

1

2

n，

3

2

n ），
∴2m-

1

2

n=1，

3

2

n=

2 3

3

，
∴m=

5

6

，n=

4

3

，
∴m-n=-

1

2

故答案為：-

1

2

點評：本題主要考查了求兩條直線的交點坐標的方法，三角形外心的性質，向量的坐標表示及向量相等的條件，待定系數法求參數值，同時考查了運算求解的能力，屬中檔題．