Question

在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5 km/h，同時岸邊有一人，從同一地點開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4 km/h，在水中游的速度為2 km/h.問此人能否追上小船?若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？

Answer 1

思路解析：不妨畫一個圖形，如圖所示.將文字語言翻譯為圖形語言，進而想法建立數學模型.設船速為v，顯然v≥4 km/h時人不可能追上小船，當0≤v≤2 km/h時，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船，因此只要考慮2＜v＜4的情況.由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時，人才能追上小船.

解：設船速為v，人追上船所用時間為t，人在岸上跑的時間為kt(0＜k＜1)，則人在水中游的時間為(1-k)t，人要追上小船，則人船運動的路線滿足如圖所示的三角形.

∵|OA|=4kt,|AB|=2(1-k)t,|OB|=vt,

由余弦定理得|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|·|OB|·cos15°,

即4(1-k)²t²=(4kt)²+(vt)²-2·4kt·vt·,

整理得12k²-［2()v-8］k+v²-4=0.

要使上式在（0，1）范圍內有實數解，則有0＜＜1且Δ=［2()v-8］²-4·12·(v²-4)≥0.

解得2＜v≤2,即v_max=2 km/h.

故當船速在（2,2]內時，人船運動路線可構成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為2 km/h，由此可見當船速為2.5 km/h時，人可以追上小船.