Question

（2013•四川）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，D，D₁分別是線段BC，B₁C₁的中點，P是線段AD的中點．
（I）在平面ABC內，試做出過點P與平面A₁BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD₁A₁；
（II）設（I）中的直線l交AB于點M，交AC于點N，求二面角A-A₁M-N的余弦值．

Answer 1

分析：（I）在平面ABC內過點P作直線l∥BC，根據線面平行的判定定理得直線l∥平面A₁BC．由等腰三角形“三線合一”得到AD⊥BC，從而得到AD⊥l，結合AA₁⊥l且AD、AA₁是平面ADD₁A₁內的相交直線，證出直線l⊥平面ADD₁A₁；
（II）連接A₁P，過點A作AE⊥A₁P于E，過E點作EF⊥A₁M于F，連接AF．根據面面垂直判定定理，證出平面A₁MN⊥平面A₁AE，
從而得到AE⊥平面A₁MN，結合EF⊥A₁M，由三垂線定理得AF⊥A₁M，可得∠AFE就是二面角A-A₁M-N的平面角．設AA₁=1，分別在Rt△A₁AP中和△AEF中算出AE、AF的長，在Rt△AEF中，根據三角函數的定義算出sin∠AFE的值，結合同角三角函數的平方關系算出cos∠AFE的值，從而得出二面角A-A₁M-N的余弦值．

解答：解：（I）在平面ABC內，過點P作直線l∥BC
∵直線l?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，
∴直線l∥平面A₁BC，
∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，結合l∥BC得AD⊥l
∵AA₁⊥平面ABC，l?平面ABC，∴AA₁⊥l
∵AD、AA₁是平面ADD₁A₁內的相交直線
∴直線l⊥平面ADD₁A₁；
（II）連接A₁P，過點A作AE⊥A₁P于E，過E點作EF⊥A₁M于F，連接AF
由（I）知MN⊥平面A₁AE，結合MN?平面A₁MN得平面A₁MN⊥平面A₁AE，
∵平面A₁MN∩平面A₁AE=A₁P，AE⊥A₁P，∴AE⊥平面A₁MN，
∵EF⊥A₁M，EF是AF在平面A₁MN內的射影，
∴AF⊥A₁M，可得∠AFE就是二面角A-A₁M-N的平面角
設AA₁=1，則由AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1
又∵P為AD的中點，∴M是AB的中點，得AP=

1

2

，AM=1
Rt△A₁AP中，A₁P=

AP2+AA12

=

5

2

；Rt△A₁AM中，A₁M=

2

∴AE=

AP•AA1

A1P

=

5

5

，AF=

AM•AA1

A1M

=

2

2

∴Rt△AEF中，sin∠AFE=

AE

AF

=

10

5

，可得cos∠AFE=

1-sin2∠AFE

=

15

5

即二面角A-A₁M-N的余弦值等于

15

5

．

點評：本題在直三棱柱中求證線面垂直，并求二面角的余弦值．著重考查了空間線面平行、線面垂直的判定與性質，考查了三垂線定理和面面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．