Question

a為何值時，對區間[0，3]的任意實數x，不等式log(2a2-1)(2x+2)＜-1恒成立．

Answer 1

分析：由0≤x≤3⇒2≤2+2x≤8，由對數函數的性質可知，0＜2a²-1＜1，且2x+2＞

1

2a2-1

在x∈[0，3]時恒成立，通過構造函數h（x）=

1

2x+2

，利用其單調性可求得h（x）_max=h（0）=

1

2

，從而可求得a的取值范圍．

解答：解：∵0≤x≤3，
∴2≤2+2x≤8，
又log(2a2-1)(2x+2)＜-1＜0，
∴0＜2a²-1＜1，
∴

1

2

＜a²＜1①
∵又當x∈[0，3]時，log(2a2-1)(2x+2)＜-1=log(2a2-1)

1

2a2-1

恒成立，
由對數函數y=log_tx（0＜t＜1）單調遞減的性質得：
2x+2＞

1

2a2-1

在x∈[0，3]時恒成立
∴2a²-1＞

1

2x+2

（0≤x≤3）恒成立，
令h（x）=

1

2x+2

，顯然h（x）=

1

2x+2

在區間[0，3]上單調遞減，
∴h（x）_max=h（0）=

1

2

，
∴2a²-1＞

1

2

②
由①②得

3

4

＜a²＜1，
解得-1＜a＜-

3

2

或

3

2

＜a＜1．
∴實數a的取值范圍為（-1，-

3

2

）∪（

3

2

，1）．

點評：本題考查對數不等式的解法，著重考查對數函數的性質與恒成立問題，考查構造函數思想與轉化思想的綜合應用，屬于中檔題．