Question

A－BCD是三棱錐，H，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，過H，F(xiàn)且平行于AD的平面分別交AB，CD于E，G．(1)求證：平面EFGH∥BC；(2)求證：平面EFGH把三棱錐A－BCD分成等體積的兩個(gè)多面體．

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)AD∥平面EFGH，AD平面ACD，平面EFGH∩平面ACD=HG，∴AD∥HG．∵H是AC的中點(diǎn)，∴G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，同理可知E是AB的中點(diǎn)，于是BC∥FG，∵FG平面EFGH，∴BC∥平面EFGH． 　　(2)由(1)可知EHBC，F(xiàn)GBC，∴EHFG，即EFGH是平行四邊形，∴，F(xiàn)C是△BCD的中線，∴，于是①．又設(shè)直線AC與平面EFGH所成的角為α，則點(diǎn)A，C到平面EFGH的距離分別為AHsinα和CHsinα．∵AH=CH，∴點(diǎn)A，C到平面EFGH的距離相等，∴②．由①、②兩式可知平面EFGH把三棱錐A－BCD分成等體積的兩個(gè)多面體．