Question

【題目】如圖，已知與圓相切于點，經過點的割線交圓于點，的平分線分別交于點.

（1）證明：;

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）要證兩角相等，與已知條件“是角平分線”聯系，這兩個分別都可以作為一個三角形的外角，∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE，而由角平分線有，∠APD=∠CPE，由切線的性質有∠BAP=∠C，因此結論得這兩點；（2）由切線性質可得APC∽BPA，這樣會出現線段的比值，再由及（1）的證明知中，，從而求得．

試題解析：（1）∵PA是切線，AB是弦，∴∠BAP=∠C

又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE.

∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE.

∴∠ADE=∠AED

（2）由（1）知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴APC∽BPA， ，

∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC,

由三角形的內角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180,

∵BC是圓O的直徑,∴∠BAC=90,∴∠C+∠APC+∠BAP=90,∴∠C=∠APC=∠BAP=30,

在RtABC中,,∴