Question

【題目】已知數列滿足 .

(1)證明：當時，；

(2)證明： ()；

(3)證明：為自然常數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）用數學歸納法證明，先證成立，再假設當時結論成立，即，再證當，成立，這一步需要用到這一假設

（2）先觀察證明的恒等式，發覺右側出現了裂項的基本形式，故可考慮將式子作如下變形處理，通過移項可得，再采用疊加法即可求得

由遞推公式和（1）的結論有

變形得，兩邊同取對數得，再利用導數公式，可得

即，再采用累加法通過變形最后即可得到

（1）（用數學歸納法證明）

①當時，，

所以結論成立；

②假設當時結論成立，即．

則當時

所以時，結論成立．

由①②可知，當時，成立

（2）由題意得

所以

所以，

，

，

……

，

以上各式兩邊分別相加可得，

又，所以

．

（3）由題意得，

∴，

∴，（利用了導數公式的性質）

∴，

由累加法得

，

所以，

所以，

故，

所以為自然常數.