Question

已知△ABC的面積為3，且滿足0≤

AB

•

AC

≤6，設

AB

和

AC

的夾角為θ．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）求函數f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的面積公式及向量的數量積公式求出面積和數量積代入已知求出θ的范圍．
（Ⅱ）利用三角函數的二倍角的余弦公式將f（θ）中的平方降冪，利用三角函數的和角公式化簡函數，利用三角函數的有界性求出最值．

解答：解：（Ⅰ）設三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c
則有

1

2

bcsinθ=3
0≤bccosθ≤6，
可得0≤cosθ≤sinθ，
∴θ∈[

π

4

，

π

2

]
（Ⅱ）f（θ）=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ=[1-cos(

π

2

+2θ)]-

3

cos2θ
=(1+sin2θ)-

3

cos2θ=sin2θ-

3

cos2θ+1=2sin(2θ-

π

3

)+1
∴θ=

5π

12

時，f（θ）_max=3，
當θ=

π

4

時，f（θ）_min=2

點評：本題考查三角形的面積公式；向量的數量積公式；三角函數的二倍角公式；三角函數的誘導公式及和差角公式．