Question

設n∈N^*，n＞1，用數學歸納法證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n

．

Answer 1

分析：直接利用數學歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證n=2時不等式成立；（2）假設當n=k（k≥2）時成立，利用放縮法證明n=k+1時，不等式也成立．

解答：證明：記f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．（n∈N^*，n＞1）…（2分）
（1）當n=2時，f（2）=1+

1

2

＞

2

，不等式成立；             …（4分）
（2）假設n=k（n∈N^*，n≥2）時，不等式成立，…（6分）
即f（k）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞

k

，
則當n=k+1時，有f（k+1）=f（k）+

1

k+1

＞

k

+

1

k+1

=

k(k+1) +1

k+1

＞

k+1

k+1

=

k+1

   …（10分）
∴當n=k+1時，不等式也成立．…（12分）
綜合（1），（2）知，原不等式對任意的n∈N^*，（n＞1）都成立．…（14分）

點評：本題是中檔題，考查數學歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應用，考查邏輯推理能力．