Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點，現將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F為線段A′D的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面A′BC；
（Ⅱ）求直線A′B與平面A′DE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）取A′C的中點M，連接MF，MB，證明四邊形EBMF為平行四邊形，可得EF∥MB，利用線面平行的判定定理可得EF∥平面A′BC； 
（II）過B作BO⊥DE，O為垂足，連接A′O，證明∠BA′O就是直線A′B與平面A′DE所成的角．過A′作A′S⊥DE，S為垂足，從而可求直線A′B與平面A′DE所成的角的正切值．

解答：（I）證明：取A′C的中點M，連接MF，MB，則FM∥DC，且FM=

1

2

DC，
又EB∥DC，且EB=

1

2

DC，從而有FM∥EB，FM=EB，
所以四邊形EBMF為平行四邊形，故有EF∥MB，…（4分）
又EF?平面A′BC，MB?平面A′BC，
所以EF∥平面A′BC；            …（6分）
（II）解：過B作BO⊥DE，O為垂足，連接A′O，
因為平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE=DE，所以BO⊥平面A′DE，
所以∠BA′O就是直線A′B與平面A′DE所成的角．…（10分）
過A′作A′S⊥DE，S為垂足，
因為平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE=DE，所以A′S⊥平面BCDE，
在直角△A′SO中，A′S=

2

，SO=2

2

，
所以A′O=

10

． …（12分）
又B0=

2

，
所以tan∠BA′O=

2

10

=

5

5

，
故直線A′B與平面A′DE所成的角的正切值為

5

5

．      …（14分）

點評：本題考查線面平行，考查線面角，掌握線面平行的判定，正確作出線面角是關鍵．