Question

（2012•天津模擬）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

，E為PD上一點，PE=2ED．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）在側棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD為斜邊的直角三角形，從而有PA⊥AD，再結合PA⊥CD，AD、CD 相交于點D，可得PA⊥平面ABCD；
（II）過E作EG∥PA 交AD于G，連接BD交AC于O，過G作GH∥OD，交AC于H，連接EH．利用三垂線定理結合正方形ABCD的對角線互相垂直，可證出∠EHG為二面角D-AC-E的平面角．分別在△PAB中和△AOD中，求出EH=

1

3

，GH=

2

3

，在Rt△EHG中利用三角函數的定義，得到tan∠EHG=

EG

GH

=

2

2

．最后由同角三角函數的關系，計算得cos∠EHG=

6

3

．
（III）以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．分別給出點A、B、C、P、E的坐標，從而得出

AC

=（1，1，0），

AE

=（0，

2

3

，

1

3

 ），利用向量數量積為零的方法，列方程組可算出平面AEC的一個法向量為

n

=（-1，1，-2 ）．假設側棱PC上存在一點F，使得BF∥平面AEC，則

BF

=

BC

+

CF

=（-λ，1-λ，λ），且有

BF

?

n

=0．所以

BF

?

n

=λ+1-λ-2λ=0，解之得λ=

1

2

，所以存在PC的中點F，使得BF∥平面AEC．

解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=

2

，
∴PA²+AD²=PD²，可得△PAD是以PD為斜邊的直角三角形
∴PA⊥AD---（2分）
又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于點D，
∴PA⊥平面ABCD-------（4分）
（Ⅱ）過E作EG∥PA 交AD于G，
∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
∵△PAB中，PE=2ED
∴AG=2GD，EG=

1

3

PA=

1

3

，------（5分）
連接BD交AC于O，過G作GH∥OD，交AC于H，連接EH．
∵OD⊥AC，GH∥OD
∴GH⊥AC
∵EG⊥平面ABCD，HG是斜線EH在平面ABCD內的射影，
∴EH⊥AC，可得∠EHG為二面角D-AC-E的平面角．-----（6分）
∴Rt△EGH中，HG=

2

3

OD=

1

3

BD=

2

3

，可得tan∠EHG=

EG

GH

=

2

2

．
由同角三角函數的關系，得cos∠EHG=

1 1+tan2∠EHG

=

6

3

．
∴二面角D-AC-E的平面角的余弦值為

6

3

-------（8分）
（Ⅲ）以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，

2

3

，

1

3

），

AC

=（1，1，0），

AE

=（0，

2

3

，

1

3

 ）---（9分）
設平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），根據數量積為零，可得

n • AC =0 n • AE =0

，即：

x+y=0 2y+z=0

，令y=1，得

n

=（-1，1，-2 ）-------------（10分）
假設側棱PC上存在一點F，且

CF

=λ

CP

，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC，則

BF

?

n

=0．
又∵

BF

=

BC

+

CF

=（0，1，0）+（-λ，-λ，λ）=（-λ，1-λ，λ），
∴

BF

?

n

=λ+1-λ-2λ=0，∴λ=

1

2

，
所以存在PC的中點F，使得BF∥平面AEC．----------------（13分）

點評：本題給出一個特殊的棱錐，通過證明線面垂直和求二面角的大小，著重考查了用空間向量求平面間的夾角、直線與平面平行的判定與性質和直線與平面垂直的判定與性質等知識點，屬于中檔題．