Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， a1=2，Sn=n2+n．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設{ }的前n項和為Tn ， 求證Tn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．

∵n=1時，a1=2×1=2，也適合

∴數列{an}的通項公式是an=2n．

（2）解： = = ﹣

∴{ }的前n項和為Tn=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）=1﹣ =

∵0＜ ＜1

∴1﹣ ∈（0，1），即Tn＜1對于一切正整數n均成立．

【解析】（1）利用公式an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），得當n≥2時an=2n，再驗證n=1時，a1=2×1=2也適合，即可得到數列{an}的通項公式．（2）裂項得 = ﹣ ，由此可得前n項和為Tn=1﹣ ＜1，再結合 ∈（0，1），不難得到Tn＜1對于一切正整數n均成立．
【考點精析】本題主要考查了等差數列的前n項和公式的相關知識點，需要掌握前n項和公式：才能正確解答此題．