Question

設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n，在區(qū)間上總有m+4個(gè)數(shù)使得f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，試求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．…（1分）
當(dāng)a=0時(shí)，，∴．…（2分）
由f'（x）=0得．
f（x），f'（x）隨x變化如下表：

x
f（x）	-	0	+
f'（x）	↘	極小值	↙

故，，沒(méi)有極大值．…（4分）
（2）由題意，
令f'（x）=0得，．…（6分）
若a＞0，由f'（x）≤0得；由f'（x）≥0得．…（7分）
若a＜0，①當(dāng)a＜-2時(shí)，，或，f'（x）≤0；，f'（x）≥0，
②當(dāng)a=-2時(shí)，f'（x）≤0
③當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，或，f'（x）≤0；，f'（x）≥0．
綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)a＜-2時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為…（10分）
（3）當(dāng)a=2時(shí)，．
∵，∴f'（x）≥0
∴，．…（12分）
由題意，恒成立．
令，且f（k）在上單調(diào)遞增，
∴，因此，而m是正整數(shù)，故m≤32，
所以，m=32時(shí)，存在，a_m+1=a_m+2=a_m+2=a_m+4=8時(shí)，對(duì)所有n滿足題意，∴m_max=32．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求f（x）的極值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分類討論，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，，求出函數(shù)的最值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立．
令，且f（k）在上單調(diào)遞增，由此可求正整數(shù)m的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問(wèn)題，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．