Question

已知，點B是軸上的動點，過B作AB的垂線交軸于點Q，若
,.

(1)求點P的軌跡方程；
(2)是否存在定直線，以PM為直徑的圓與直線的相交弦長為定值，若存在,求出定直線方程;若不存在,請說明理由。

Answer 1

(1) y²=x，此即點P的軌跡方程；
(2)存在定直線x=，以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長為定值。

試題分析：(1)設B(0，t)，設Q(m，0)，t²=|m|， m0，m=-4t²，
 Q(-4t²，0)，設P(x，y)，則=(x-，y)，
=(-4t²-，0)，2=(-，2 t)， +=2。
(x-，y)+ (-4t²-，0)= (-，2 t)，
 x=4t²，y="2" t， y²=x，此即點P的軌跡方程； 6分。
(2)由(1)，點P的軌跡方程是y²=x；設P(y²，y)，M (4，0) ，則以PM為直徑的圓的圓心即PM的中點T(，), 以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長:
L=2
=2=2 10分
若a為常數，則對于任意實數y，L為定值的條件是a-="0," 即a=時，L=
存在定直線x=，以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長為定值。13分
點評：中檔題，首先利用幾何條件，確定向量的坐標，并運用向量的坐標運算，確定得到拋物線方程。在直線與圓的去位置關系研究中，充分利用了圓的“特征三角形”，確定弦長。