Question

（2009•嘉定區一模）（理）已知復數z=a+bi，其中a、b為實數，i為虛數單位，

.

z

為z的共軛復數，且存在非零實數t，使

.

z

=

2+4i

t

-3ati成立．
（1）求2a+b的值；
（2）若|z-2|≤5，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，a-bi=

2+4i

t

-3ati，所以

a= 2 t b=3at- 4 t

，由此能求出2a+b的值．
（2）由|z-2|≤5得

(a-2)2+b2

≤5，由b=6-2a，得（a-2）²+（6-2a）²≤25，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得，a-bi=

2+4i

t

-3ati，
所以

a= 2 t b=3at- 4 t

，…（3分）
由①得，t=

2

a

，
代入②得b=3a•

2

a

-2a，
所以2a+b=6．…（6分）
（2）由|z-2|≤5，
得|（a-2）+bi|≤5，
即

(a-2)2+b2

≤5，…（8分）
由（1）得b=6-2a，
所以（a-2）²+（6-2a）²≤25，
化簡得5a²-28a+15≤0，…（10分）
所以a的取值范圍是[

3

5

 ， 5]．…（12分）

點評：本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．