Question

設關于x的方程2x²－ax－2=0的兩根為α、β（α＜β），函數．

  （Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；

（Ⅱ）證明f (x)是[α，β]上的增函數；

（Ⅲ）當a為何值時，f (x)在區間[α，β]上的最大值與最小值之差最小？

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由題意知α＋β＝，α·β＝－1，∴α2＋β2＝， 　　    ∴f (α)·f (β)＝ ． （Ⅱ）證明：當α≤x≤β時，    　　    ∵α、β是方程2x2－ax－2=0的兩根， 　　    ∴當α≤x≤β時，恒有2x2－ax－2≤0， 　　    ∴≥0，又不是常函數， 　　    ∴是[α，β]上的增函數． （Ⅲ）f (x)在區間[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0， 又∵| f (α)·f (β) |＝4，  ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥ 當且僅當| f (β)|＝| f (α)|＝2時取“＝”號，此時f (β)＝2，f (α)＝－2  　　    ∴     由（1）、（2）得 ，∴a＝0為所求．