Question

已知圓C：（x-a）²+y²=r²與直線y=x-1交于A、B點，點P為線段AB中點，O為坐標原點．
（1）如果直線OP的斜率為

1

3

，求實數a的值；
（2）如果|AB|=

20

，且OA⊥OB，求圓C的方程．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線的斜率

專題：直線與圓

分析：（1）聯立

(x-a)2+y2=r2 y=x-1

，得2x²-（2a+2）x+a²+1-r²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知條件結合韋達定理求出P（

a+1

2

，

a-1

2

），由此能求出a=2．
（2）由已知條件得

x1x2+y1y2=0 (1+1)[(a+1)2-4• a2+1-r2 2 ] = 20

，由此能求出圓C的方程．

解答： 解：（1）聯立

(x-a)2+y2=r2 y=x-1

，
得2x²-（2a+2）x+a²+1-r²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=a+1，x₁x₂=

a2+1-r2

2

，
y₁+y₂=x₁+x₂-2=a-1，
∵P為A中點，∴P（

a+1

2

，

a-1

2

），
∵O（0，0），直線OP的斜率為

1

3

，
∴

a-1 2

a+1 2

=

1

3

，解得a=2．
（2）∵|AB|=

20

，且OA⊥OB，
∴

x1x2+y1y2=0 (1+1)[(a+1)2-4• a2+1-r2 2 ] = 20

，
∵x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-1）（x₂-1）
=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1
=（a²+1-r²）-a-1+1
=（a²+1-r²）-a=0，
∴a=3，r²=7，或a=-3，r²=13，
∴圓C的方程：（x-3）²+y²=7或（x+3）²+y²=13．

點評：本題考查實數值的求法，考查圓的方程的求法，解題量要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．