Question

（2012•日照一模）已知各項均不相等的等差數列{a_n}的前四項和S₄=14，a₃是a₁，a₇的等比中項．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設T_n為數列{

1

anan+1

}的前n項和，若Tn≤

1

λ

an+1對一切n∈N^*恒成立，求實數λ的最大值．

Answer 1

分析：（I）設出此等差數列的公差為d，根據等差數列的前n項和公式及等比數列的性質，列出方程組，可求出首項和公差，根據首項和公差寫出等差數列{a_n}的通項公式即可；
（II）寫出數列的通項，利用裂項法求數列的和，再分離參數，利用基本不等式求出最消值，即可得到實數λ的最大值．

解答：解：（I）設公差為d，∵S₄=14，a₃是a₁，a₇的等比中項
∴

4a1+6d=14  (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得：

d=1 a1=2

或

d=0 a1= 7 2

（舍去），
∴a_n=2+（n-1）=n+1；
（II）∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

，
∵Tn≤

1

λ

an+1對一切n∈N^*恒成立，
∴

n

2(n+2)

≤

n+2

λ

∴λ≤

2(n+2)2

n

?n∈N^*恒成立，
又

2(n+2)2

n

=2(n+

4

n

+4)≥16，
∴λ≤16
∴λ的最大值為16．

點評：本題考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和公式化簡求值，考查等比數列的性質，考查不等式恒成立問題，考查利用基本不等式求函數的最值，屬于中檔題．