Question

設平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C．求：

（Ⅰ）求實數b 的取值范圍；

（Ⅱ）求圓C 的方程；

（Ⅲ）問圓C 是否經過某定點（其坐標與b 無關）？請證明你的結論．

Answer 1

【解析】本小題主要考查二次函數圖象與性質、圓的方程的求法．

（Ⅰ）令＝0，得拋物線與軸交點是（0，b）；

令，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）設所求圓的一般方程為

令＝0 得這與＝0 是同一個方程，故D＝2，F＝．

令＝0 得＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝—b—1．分

所以圓C 的方程為分

（Ⅲ）圓C 必過定點（0，1）和（－2，1）．分

證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0，

所以圓C 必過定點（0，1）．分

同理可證圓C 必過定點（－2，1）．分