Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為，且在處取得極小值。
（1）求的解析式；
（2）已知函數(shù)定義域為實數(shù)集，若存在區(qū)間，使得在的值域也是，稱區(qū)間為函數(shù)的“保值區(qū)間”．
①當(dāng)時，請寫出函數(shù)的一個“保值區(qū)間”（不必證明）；
②當(dāng)時，問是否存在“保值區(qū)間”？若存在，寫出一個“保值區(qū)間”并給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，                        
∴                             ……  1 分
由                      …… 4 分
∴，      令，解得，
當(dāng)變化時，,的變化情況如下表：

				1
		0		0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴當(dāng)時，取得極小值。                                  
所以，。                                    ……  5 分
（２） ①                                       ……  7 分
②由（１）得，
假設(shè)當(dāng)x>1時，存在“保值區(qū)間”:［m,n］(n>m>1)。
因為當(dāng)x>1時，所以在區(qū)間是增函數(shù)，
依題意,
于是問題轉(zhuǎn)化為有兩個大于1的根。            …… 9 分
現(xiàn)在考察函數(shù)
則令
又∵
∴１<                                               
當(dāng)變化時，,的變化情況如下表：

	(1,)
	－	0	＋
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

 所以，在在(1,) 上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增。         …… 12 分
于是，,
又因為
所以，當(dāng)時，的圖象與軸只有一個交點，               ……  13 分
即方程有且只有一個大于1的根，與假設(shè)矛盾。
故當(dāng)x>1時，不存在“保值區(qū)間”。                         ……  14 分
（２）解法2：由（１）得，
② 假設(shè)當(dāng)x>1時，存在“保值區(qū)間”:［m,n］(n>m>1)。
因為當(dāng)x>1時，所以在區(qū)間是增函數(shù)，
依題意,
于是問題轉(zhuǎn)化為方程，即有兩個大于1的根。…… 9 分
考察函數(shù)=(),與函數(shù)().
當(dāng)x>1時，，
所以
而函數(shù)在區(qū)間               …… 12 分
又因為  所以，
因此函數(shù)=()的圖象與函數(shù)()的圖象只有一個交點。
……  13分
即方程有且只有一大于1的根，與假設(shè)矛盾。
故當(dāng)時，不存在“保值區(qū)間”         

略