Question

在數(shù)列{a_n}中，如果對(duì)任意的n∈N^*，都有（λ為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為比等差數(shù)列，λ稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題，其中所有真命題的序號(hào)是    ．
①若數(shù)列{F_n}滿足F₁=1，F(xiàn)₂=1，F(xiàn)_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}滿足，則數(shù)列{a_n}是比等差數(shù)列，且比公差λ=2；
③等差數(shù)列是常數(shù)列是成為比等差數(shù)列的充分必要條件；
（文）④數(shù)列{a_n}滿足：，a₁=2，則此數(shù)列的通項(xiàng)為-1，且{a_n}不是比等差數(shù)列；
（理）④數(shù)列{a_n}滿足：a₁=，且a_n=，則此數(shù)列的通項(xiàng)為a_n=，且{a_n}不是比等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)比等差數(shù)列的定義（λ為常數(shù)），逐一判斷①～④中的四個(gè)數(shù)列是否是比等差數(shù)列，即可得到答案．
解答：解：數(shù)列{F_n}滿足F₁=1，F(xiàn)₂=1，F(xiàn)₃=2，F(xiàn)₄=3，F(xiàn)₅=5，-=1，-=-≠1，
則該數(shù)列不是比等差數(shù)列，
故①正確；
若數(shù)列{a_n}滿足an=（n-1）•2n-1，
則-=-=不為定值，
即數(shù)列{a_n}不是比等差數(shù)列，
故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)?shù)炔顢?shù)列為常數(shù)列0，0，0，0，…，0時(shí)，不能成為比等差數(shù)列，
故③錯(cuò)誤；
（文）④∵數(shù)列{a_n}滿足：，
a₁=2=-1，
∴a₂=4+4=8=，
a₃=64+16=80=3-1．
由此猜想．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2=-1，成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即，
則a_k+1=（）²+2（）
=-2×3+1-2×-2
=-1，也成立，
∴此數(shù)列的通項(xiàng)為-1．
∴-=-不是常數(shù)，
故{a_n}不是比等差數(shù)列，故④正確；
（理）④∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=，且a_n=，
∴a₁==，
a₂===，
==．
由此猜想a_n=．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁==，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即，
則a_k+1==，也成立．
故此數(shù)列的通項(xiàng)為a_n=，
∴-=-不是常數(shù)，
故{a_n}不是比等差數(shù)列，故④正確；
故答案為：①④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，解題時(shí)應(yīng)正確理解新定義，同時(shí)注意利用列舉法判斷命題為假，屬于難題．