Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．
（1）求證：AB⊥PD；
（2）若點E是線段PB的中點，求證：AE∥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，我們易得PA⊥AB，AB⊥AD，由線面垂直的判定定理易得AB⊥平面PAD，根據線面垂直的定義，即可得到AB⊥PD；
（2）若點E是線段PB的中點，取PC的中點F，連接AE，EF，DF，由三角形中位線定理，我們判斷四邊形EFDA是平行四邊形，結合空間中直線與平面平行的判定定理，即可得到AE∥平面PCD．

解答：解：
（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD．（6分）
（2）因為點E為線段PB的中點，
取PC的中點F，連接AE，EF，DF，
則EF是△PBC中位線．
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∵AD∥BC，AD=

1

2

BC，
∴AD∥EF，AD=EF．
∴四邊形EFDA是平行四邊形，
∴AE∥DF．
∵AE?平面PCD，DF?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定及直線與平面垂直的性質，其中熟練掌握空間直線與平面平行的判定定理，及直線與平面垂直的判定定理和性質定理是解答本題的關鍵．