Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且b2+c2=a2+

3

bc，B=

π

6

，BC邊上的中線AM的長為

7

．
（I）求角A、C的大小；
（II）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）首先將b2+c2=a2+

3

bc 進行整理，再根據余弦定理可求出角A的值，然后根據三角形的內角和得到角C的值．
（2）先設出AC的長，根據余弦定理可求出x，再由三角形的面積公式可得答案．

解答：解：（I）因為b2+c2=a2+

3

bc，
所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，A=

π

6

．…（4分）
又因為B=

π

6

，
所以C=π-(A+B)=

2π

3

．…（6分）
（II）由（I）知，A=B=

π

6

，C=

2π

3

，
∴AC=BC．
設AC=x，則MC=

1

2

x，
又AM=

7

．
在△AMC中由余弦定理得AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²，
即有x2+(

x

2

)2-2x•

x

2

•(-

1

2

)=(

7

)2，
解得x=2，…（10分）
故S△ABC=

1

2

x2sin

2π

3

=

3

．…（12分）

點評：本題主要考查余弦定理和三角形面積公式的應用．在做這種題型時經常要用三內角之間的相互轉化，即用其他兩個角表示出另一個的做法．