Question

某市為了解決交通擁堵問題，一方面改建道路、加強管理，一方面控制汽車總量增長．交管部門擬從2012年1月起，在一段時間內，對新車上牌采用搖號（類似于抽簽）的方法進行控制，制定如下方案：①每月進行一次搖號，從當月所有申請用戶以及以前沒有搖到號的申請用戶中，搖出當月上牌的用戶，搖到叼的用戶不再參加以后的搖號；②當月沒有搖到號的申請者自動加入下一個月的搖號，不必也不能重復申請．預計2012年1月申請車牌的用戶有10a個，以后每個月又有a個新用戶申請車牌；計劃2012年1月車牌a個，以后每月發放車牌數比上月增加5%，以2012年1月為第一個月，設前n（n∈N^*）個月申請車牌用戶的總數為a_n，前n個月發放車牌的總數為b_n，使得a_n＞b_n成立的最大正整數為n₀．（參考數據：1.05¹⁶=2.18，1.05¹⁷=2.29，1.05¹⁸=2.41）
（1）求a_n，b_n關于n的表達式，直接寫出n₀的值，說明n₀的實際意義；
（2）當n≤n₀，n∈N^*時，設第n個月中簽率為yn，求證：

1

10

≤yn＜1．
（第n個月中簽率=

第n個月發放車牌數

第n個月參加搖號的用戶數

）

Answer 1

分析：（1）前n個月申請車牌用戶的總數a_n是等差數列，前n個月發放車牌的總數為b_n是等比數列，求出通項；由a_n＞b_n求得n₀的值即可；
（2）由題意，n=1時，y₁=

b1

a1

，1＜n≤17時，y_n=

bn-bn-1

an-an-1

，則計算

1

yn

-

1

yn-1

＜0，得

1

yn

＜

1

yn-1

，從而得n≤17時，a_n＜b_n，即a_n-a_n-1＞b_n-b_n-1＞0，得0＜y_n＜1，由y_n＞y_n-1≥y₁=

1

10

，所以

1

10

≤y_n＜1．

解答：解：（1）前n個月申請車牌用戶的總數為a_n=10a+（n-1）a=（n+9）a，
前n個月發放車牌的總數為b_n=

a(1-1.05n)

1-1.05

=20（1.05ⁿ-1）a；
由a_n＞b_n得，n₀=17；這說明第17個月以后，該項政策可以取消，不需要搖號就可以直接上牌．
（2）由題意，當n=1時，y₁=

1

10

；
當1＜n≤17時，y_n=

bn-bn-1

an-an-1

=

1.05n-1

n+29-20•1.05n-1

，∴y_n=

1.05n-1

n+29-20•1.05n-1

（n∈N^*，n≤17）；
當2≤n≤17時，

1

yn

-

1

yn-1

=

n+29

1.05n-1

-

(n-1)+29

1.05n-2

=

n+29-1.05(n+28)

1.05n-1

=

-0.05n-0.40

1.05n-1

＜0，∴

1

yn

＜

1

yn-1

，∵n∈N^*，且n≤17時，a_n＜b_n，∴a_n-a_n-1＞b_n-b_n-1＞0，∴0＜y_n＜1，∴y_n＞y_n-1；
所以y₁＜y₂＜…＜y₁₇，又y₁=

1

10

，所以

1

10

≤y_n＜1．

點評：本題考查了等差、等比數列的綜合運用，也考查了數列與函數、不等式的應用；解題時細心作答，以免出錯．