Question

設f(x)=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3，
（I）當a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（II）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；
（III）當a≥1時，證明對于任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

Answer 1

分析：（I）當a=2時，f（x）=

2

x

+xlnx，根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可．
（II）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，利用導數求出函數g（x）的最大值和最小值，然后求出g（x）_max-g（x）_min，從而求出滿足條件的最大整數M；
（III）先求出在區間[

1

2

，2]上，g（x）的最大值，然后求出h（x）的最小值，從而證明出在區間[

1

2

，2]上f（x）≥g（x）恒成立，從而得到結論．

解答：解：（I）當a=2時，f（x）=

2

x

+xlnx，f'（x）=-

2

x2

+lnx+1，
∴f（1）=2，f'（1）=-1．
∴y=f（x）在x=1處的切線方程為y=-x+3
（II）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立
g（x）=x³-x²-3，g'（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

）
當x∈（0，

2

3

）時，g'（x）＜0，當x∈（

2

3

，2）時，g'（x）＞0，
∴g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
g（x）_max-g（x）_min=

112

27

∴滿足條件的最大整數M=4
（III）證明：由（II）知，在區間[

1

2

，2]上，g（x）的最大值為g（2）=1
當a≥1時，且x∈[

1

2

，2]，f(x)=

a

x

+xlnx≥

1

x

+xlnx，
記h（x）=

1

x

+xlnx，h'（x）=-

1

x2

+lnx+1，h'（1）=0
當x∈[

1

2

，1），h'（x）＜0，當x∈（1，2]，h'（x）＞0
∴函數h（x）=

1

x

+xlnx在區間[

1

2

，1）上遞減，在區間（1，2]上遞增，
∴h（x）_min=h（1）=1，即h（x）≥1
即當a≥1時，且x∈[

1

2

，2]，f（x）≥1成立，
∴f（x）≥g（2）∴f（x）≥g（x）
即當a≥1時，證明對于任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題和利用導數求閉區間上函數的最值，同時考查了轉化與化歸的思想，屬于中檔題．