Question

【題目】在邊長為的等邊三角形中，點分別是邊上的點，滿足且，將沿直線折到的位置. 在翻折過程中，下列結論成立的是（ ）

A.在邊上存在點，使得在翻折過程中，滿足平面

B.存在，使得在翻折過程中的某個位置，滿足平面平面

C.若，當二面角為直二面角時，

D.在翻折過程中，四棱錐體積的最大值記為，的最大值為

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用反證法可證明A、B錯誤，當且二面角為直二面角時，計算可得，從而C錯誤，利用體積的計算公式及放縮法可得，從而可求的最大值為，因此D正確.

對于A，假設存在，使得平面，

如圖1所示，

因為平面，平面平面，故，

但在平面內，是相交的，

故假設錯誤，即不存在，使得平面，故A錯誤.

對于B，如圖2，

取的中點分別為，連接，

因為為等邊三角形，故，

因為，故

所以均為等邊三角形，故，，

因為，，，故共線，

所以，因為，故平面，

而平面，故平面平面，

若某個位置，滿足平面平面，則在平面的射影在上，也在上，故在平面的射影為，所以，

此時，這與矛盾，故B錯誤.

對于C，如圖3（仍取的中點分別為，連接）

因為，所以為二面角的平面角，

因為二面角為直二面角，故，所以，

而，故平面，因平面，故.

因為，所以.

在中，，

在中，，故C錯.

對于D，如圖4（仍取的中點分別為，連接），

作在底面上的射影，則在上.

因為，所以且，所以其.

又

，

令，則，

當時，；當時，.

所以在為增函數，在為減函數，故.

故D正確.

故選：D.