Question

如圖1，在邊長為3的正三角形ABC中，E，F，P分別為AB，AC，
BC上的點，且滿足AE=FC=CP=1．將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連接A₁B，A₁P（如圖2）．
（Ⅰ）求證：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BE中點D，可得△ADF是正三角形，從而可得EF⊥AD，即A₁E⊥EF，根據二面角A₁-EF-B為直二面角，可得A₁E⊥BE，從而可得A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）設A₁E在平面A₁BP內的射影為A₁Q，且A₁Q交BP于點Q，則∠E₁AQ就是A₁E與平面A₁BP所成的角，從而可求其大小．

解答：（Ⅰ）證明：取BE中點D，連接DF．
因為AE=CF=1，DE=1，所以AF=AD=2，
而∠A=60°，即△ADF是正三角形，
又因為AE=ED=1，所以EF⊥AD，
所以在圖2中A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角．
由題設條件知此二面角為直二面角，A₁E⊥BE，
又BE∩EF=E
∴A₁E⊥平面BEF，
∴A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）在圖2中，A₁E不垂直A₁B，
∴A₁E是平面A₁BP的垂線，又A₁E⊥平面BEP，
∴A₁E⊥BE．
從而BP垂直于A₁E在平面A₁BP內的射影（三垂線定理的逆定理）
設A₁E在平面A₁BP內的射影為A₁Q，且A₁Q交BP于點Q，則∠E₁AQ就是A₁E與平面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q．
在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，∴△EBP是等邊三角形．
又A₁E⊥平面BEP，∴A₁B=A₁P，
∴Q為BP的中點，且EQ=

3

，又A₁E=1，
在Rt△A₁EQ中，tan∠EA1Q=

EQ

A1E

=

3

，
∴∠EA₁Q=60°，
∴直線A₁E與平面A₁BP所成的角為60°．

點評：本題考查空間線面位置關系，考查線面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定方法，作出線面角，屬于中檔題．