Question

設數滿足：.
（1）求證：數列是等比數列；
（2）若，且對任意的正整數，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）先令求出的值，然后令，由得到
，將兩式相減得到，利用定義法證明數列是
等比數列；（2）在（1）的基礎上求出數列的通項公式，進而確定數列的通項公式，將不等式
轉化為，利用作差法研究數列的單調性，確定數列的最大項的值，
從而解出相應的不等式即可.
（1）當時，則有，解得，
當且時，，
，
上式下式，得，所以，
故，且
因此數列是首項為，公比為的等比數列，
因此；
（2），對任意的正整數恒成立，則，
，
當且時，，即，因此，
當時，則，則有，
當且時，，即，則數列從第四項開始單調遞減，
因此，或最大，，
所以，即，解得或，
因此實數的取值范圍是.