Question

（2013•靜安區一模）已知f（x）=log

1

2

x，當點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動時，點N（x-2，ny）在函數y=g_n（x）的圖象上運動（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表達式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有實根，求實數a的取值范圍；
（3）設Hn(x)=2gn(x)，函數F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域為[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]，求實數a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根據點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動可得y=log₂x，點N（x-2，ny）函數y=g_n（x）的圖象上運動可得 g_n（x-2）=ny故 g_n（x-2）=nlog₂x（x＞0）再用x+2代x即可求出y=g_n（x）的表達式．
（2）由（1）可得要使關于x的方程 g₁（x）=g₂（x-2+a）有實根，a∈R，可得：（x+2）²=x+a在x＞-2有實根即a=（x+2）²-x在x＞-2有實根即只需求出（x+2）²-x在x＞-2的范圍即為a的范圍．
（3）由（1）可得F（x）=

1

x+2

+log 

1

2

（x+2）（x＞-2）再根據）

1

x+2

和log 

1

2

（x+2）的單調性得出F（x）的單調性，從而可求出F（x）在[a．b]的值域再利用值域為[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]可列出等式求出a，b的值．

解答：解：（1）由

y=f(x) ny=gn(x-2)

，
得gn(x-2)=nf(x)=nlog

1

2

x，
所以gn(x)=nlog

1

2

(x+2)，（x＞-2）．（4分）
（2）log

1

2

(x+2)=2log

1

2

(x+a)，
即

x+2

=x+a（x+2＞0）（6分）
a=-x+

x+2

，令t=

x+2

＞0，
所以a=-t2+t+2≤

9

4

，
當x=-

7

4

時，a=

9

4

．
即實數a的取值范圍是(-∞，

9

4

]（10分）
（3）因為Hn(x)=2nlog

1

2

(x+2)=

1

(x+2)n

，
所以F(x)=

1

x+2

+log

1

2

(x+2)．F（x）在（-2，+∞）上是減函數．（12分）
所以

F(a)=log2 4 2 a+2 F(b)=log2 5 2 b+2

即

1 a+2 +log 1 2 (a+2)=log2 4 2 a+2 1 b+2 +log 1 2 (b+2)=log2 5 2 b+2

，
所以

a=2 b=3

（16分）

點評：本題主要考查了求函數的解析式以及求利用函數的單調性求函數的值域．解題的關鍵是首先要利用點M點N所滿足的關系式求出y=g_n（x）的表達式（這種方法也叫相關點法求函數的解析式）然后作為橋梁再求解第二問，而對于第二問要求a的范圍常采用將a解出來轉化為球已知函數的值域問題．第三問是在第一問的基礎上求出F（x）然后利用其單調性求其值域．因此第一問為下面兩問做了鋪墊股第一問的正確解答就顯得尤為重要了！