Question

【題目】如圖，過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準線l上的點M（﹣1，0）的直線l1交拋物線C于A，B兩點，線段AB的中點為P．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）若|MA||MB|＝λ|OP|2，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y2＝4x；（Ⅱ）λ∈（0，）．

【解析】

（Ⅰ）由題意得拋物線方程；
（Ⅱ）設直線 與聯立拋物線，由設而不求的方法得點橫縱坐標的關系，計算 的值，得出參數的取值范圍．

（Ⅰ）拋物線的準線方程為：x＝﹣1，所以拋物線C的方程為：y2＝4x；

（Ⅱ）設直線l1的方程為：x＝my﹣1，代入拋物線中得：

y2﹣4my+4＝0，△＝16m2﹣16＞0，∴m2＞1，
設A（x，y），B（x'，y'），

∴y+y'＝4m，yy'＝4，
|MA||MB||y﹣yM||y'﹣yM|＝（1+m2）|yy'|＝4（1+m2），
AB的中點P的坐標（2m2﹣1，2m），|OP|2＝（2m2﹣1）2+4m2＝4m4+1，
|MA||MB|＝λ|OP|2λ，

令m2+1＝t（t＞2），
則λ在（2，+∞）上是減函數，
故λ∈（0，）．