Question

【題目】選修4－5：不等式選講

設函數.

（1）求解不等式的解集；

（2）若函數的定義域為R，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）{x|x＜3}；（2）（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．

【解析】試題分析：（1）根據絕對值定義，將不等式轉化為三個不等式組，分別求解集，最后求它們的并集，（2）先將條件轉化為方程無解，再根據絕對值三角不等式確定函數值域，進而可得實數m的取值范圍.

試題解析：（1）原不等式即為|x﹣2|﹣|x﹣4|＜0，

若x≤2，則2﹣x+x﹣4＜0，符合題意，∴x≤2，

若2＜x＜4，則x﹣2+x﹣4＜0，解得：x＜3，∴2＜x＜3，

若x≥4，則x﹣2﹣x+4＜0，不合題意，

綜上，原不等式的解集是{x|x＜3}；

（2）若函數g（x） 的定義域為R，

則m﹣f（x）=0恒不成立，

即m=f（x）在R無解，

|f（x）|=||x﹣2|﹣|x﹣4||≤|x﹣2﹣（x﹣4）|=2，

當且僅當（x﹣2）（x﹣4）≤0時取“=”，

∴﹣2≤f（x）≤2，

故m的范圍是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．