Question

（2012•藍山縣模擬）已知數列{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，且a₁=b₁=2，b₄=54，a₁+a₂+a₃=b₂+b₃．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}滿足c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比數列的通項公式，可求確定公比，從而可求{b_n}的通項公式，利用a₁+a₂+a₃=b₂+b₃，可得數列的公差，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法可求數列{c_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q
由b4=b1q3=54，得q3=

54

2

=27，從而q=3
因此bn=b1 • qn-1=2 • 3n-1（3分）
又a₁+a₂+a₃=3a₂=b₂+b₃=6+18=24，∴a₂=8
從而d=a₂-a₁=6，故a_n=a₁+（n-1）•6=6n-4（6分）
（2）cn=anbn=4 • (3n-2) • 3n-1
令Tn=1×30+4×31+7×32+…+(3n-5) • 3n-2+(3n-2) • 3n-1
3Tn=1×31+4×32+7×33+…+(3n-5) • 3n-1+(3n-2) • 3n（9分）
兩式相減得-2Tn=1+3×31+3×32+3×33+…+3×3n-1-(3n-2) • 3n
=1+3 • 

3 • (3n-1-1)

3-1

-（3n-2）•3ⁿ=1+

9(3n-1-1)

2

-(3n-2) • 3n
∴Tn=

7

4

+

3n(6n-7)

4

，又Sn=4Tn=7+(6n-7) • 3n（12分）．

點評：本題考查數列的通項，考查等差數列與等比數列的綜合，考查錯位相減法求數列的和，確定數列的通項是關鍵．