Question

已知函數，給出下列關于f（x）的性質：
①f（x）是周期函數，3是它的一個周期；②f（x）是偶函數；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同
正確的個數為（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：本題綜合的考查了函數的性質，我們可以根據周期函數、函數奇偶性結合方程思想，特殊值代入驗證法，對四個結論逐一進行判斷，最后得到結論．
解答：解：當T=3，則當x為有有理數時，x+3也為有理數，則f（x+3）=f（x）；
則當x為有無理數時，x+3也為無理數，則f（x+3）=f（x）；
故T為函數的周期，即f（x）是周期函數，3是它的一個周期，故①正確；
若x為有理數，則-x也為有理數，則f（-x）=f（x）；
若x為無理數，則-x也為無理數，則f（-x）=f（x）；
故f（x）是偶函數，故②正確
存在有理數0，使得f（x）=cosx=0成立
故方程f（x）=cosx有有理根，即③正確；
方程f[f（x）]=f（x）可等價變形為f（x）=1
故方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同，故④正確
故選D
點評：要判斷一個函數的奇偶性，我們需要經過兩個步驟：①判斷函數的定義域是否關于原點對稱；②判斷f（-x）與f（x）的值是相等還是相反．反之，當已知函數為奇函數或偶函數時，要注意此時函數的定義域一定關于原點對稱，且f（-x）與f（x）的值是相反或相等．要判斷一一個函數是否為周期函數，則要判斷f（x+T）=f（X）是否恒成立．