Question

【題目】已知點A(－2,0)，B(2，0)，曲線C上的動點P滿足.

(1)求曲線C的方程；

(2)若過定點M(0，－2)的直線l與曲線C有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍；

(3)若動點Q(x，y)在曲線C上，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】試題分析：(1)設點，利用直接法求動點軌跡；(2)設直線方程，利用圓心到直線的距離和半徑的大小進行求解；（3）將求斜率問題轉化為判定直線和圓有公共點問題，再利用圓心到直線的距離和半徑的大小進行求解.

試題解析：(1)設P(x，y)，A·B＝(x＋2，y)(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3，

得P點軌跡(曲線C)方程為x2＋y2＝1，

即曲線C是圓．

(2)可設直線l的方程為y＝kx－2，

其一般方程為kx－y－2＝0，

由直線l與曲線C有交點，得≤1，得k≤－或k≥，

即所求k的取值范圍是(－∞，－ ]∪[，＋∞)．

(3)由動點Q(x，y)，設定點N(1，－2)，

則直線QN的斜率kQN＝＝u，

又點Q在曲線C上，故直線QN與圓有交點，

設直線QN的方程為y＋2＝u(x－1)，

即ux－y－u－2＝0.

當直線與圓相切時，＝1，

解得u＝－，

當u不存在時，直線與圓相切，

所以u∈(－∞，－]．