Question

（2006•上海模擬）△ABC的兩條邊上的高的交點為H，外接圓的圓心為O，則

OH

=m(

OA

+

OB

+

OC

)，則實數m=

1

．

Answer 1

分析：根據題意作出圖形，由外心和垂心的性質證明四邊形AHCD是平行四邊形，由向量加法的三角形法則

OH

=

OA

+

AH

，由向量相等和向量的減法運算進行轉化，直到用

OA

，

OB

和

OC

表示出來為止．

解答：解：如圖：作直徑BD，連接DA、DC，
由圖得，

OB

=-

OD

，
∵H為△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD為直徑，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四邊形AHCD是平行四邊形，∴

AH

=

DC

，
又∵

DC

=

OC

-

OD

=

OC

+

OB

，
∴

OH

=

OA

+

AH

=

OA

+

DC

=

OA

+

OB

+

OC

，對比系數得到m=1．
故答案為：1．

點評：本題考查三角形的五心，解答本題，關鍵是根據題意，構造出平行四邊形，再利用向量運算，將三個向量的和表示出來，本題中選擇入手的位置很關鍵，此類似于代數中的化簡式證明．作題時注意構造法思想的運用，向量在幾何中的運用．