Question

【題目】在三棱錐P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

取PB中點M，連結CM，得到AC⊥平面PBC，設點A到平面PBC的距離為h＝AC＝2x，則CM⊥PB，求出VA﹣PBC，設t，（0＜t＜2），從而VA﹣PBC，（0＜t＜2），利用導數求出三棱錐P﹣ABC體積的最大值.

解：如圖，取PB中點M，連結CM，

∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC平面ABC，AC⊥BC，

∴AC⊥平面PBC，

設點A到平面PBC的距離為h＝AC＝2x，

∵PC＝BC＝2，PB＝2x，（0＜x＜2），M為PB的中點，

∴CM⊥PB，CM，

解得，

所以VA﹣PBC，

設t，（0＜t＜2），則x2＝4﹣t2，

∴VA﹣PBC，（0＜t＜2），

關于t求導，得，

所以函數在單調遞增，在單調遞減.

所以當t時，（VA﹣PBC）max.

故選：D.