Question

在平面直角坐標系xoy中，已知圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4 和圓C₂：（x-4）²+（y-5）²=4
（1）若直線l過點A（4，0），且被圓C₁截得的弦長為2，求直線l的方程
（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線l過點A（4，0），故可以設出直線l的點斜式方程，又由直線被圓C₁截得的弦長為2，根據半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．
（2）與（1）相同，我們可以設出過P點的直線l₁與l₂的點斜式方程，由于兩直線斜率為1，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，故我們可以得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l₁與l₂的方程．
解答：解：（1）由于直線x=4與圓C₁不相交；
∴直線l的斜率存在，設l方程為：y=k（x-4）（1分）
圓C₁的圓心到直線l的距離為d，∵l被⊙C₁截得的弦長為2
∴d==1（12分）
d=從而k（24k+7）=0即k=0或k=-
∴直線l的方程為：y=0或7x+24y-28=0（5分）
（2）設點P（a，b）滿足條件，
由題意分析可得直線l₁、l₂的斜率均存在且不為0，
不妨設直線l₁的方程為y-b=k（x-a），k≠0
則直線l₂方程為：y-b=-（x-a）（6分）
∵⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，
∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等
即=（8分）
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|
∴1+3k+ak-b=±（5k+4-a-bk）即（a+b-2）k=b-a+3或（a-b+8）k=a+b-5
因k的取值有無窮多個，所以或（10分）
解得或
這樣的點只可能是點P₁（，-）或點P₂（-，）
經檢驗點P₁和P₂滿足題目條件（12分）
點評：在解決與圓相關的弦長問題時，我們有三種方法：一是直接求出直線與圓的交點坐標，再利用兩點間的距離公式得出；二是不求交點坐標，用一元二次方程根與系數的關系得出，即設直線的斜率為k，直線與圓聯立消去y后得到一個關于x的一元二次方程再利用弦長公式求解，三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構成的直角三角形來求．對于圓中的弦長問題，一般利用第三種方法比較簡捷．本題所用方法就是第三種方法．