Question

下列說法中：
①若定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x-1），則6為函數f（x）的周期；
②若對于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，則；
③定義：“若函數f（x）對于任意x∈R，都存在正常數M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，則稱函數f（x）為有界泛函．”由該定義可知，函數f（x）=x²+1為有界泛函；
④對于函數，設f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*且n≥2），令集合M={x|f₂₀₀₉（x）=x，x∈R}，則集合M為空集．
正確的個數為（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：依據相關函數的性質逐一進行判斷證明，判斷每個命題的正誤．①變形判斷其以6為周期，②分離出a來，利用恒成立求其范圍；③根據有界函數的定義進行判斷，確定f（x）=x²+1的性質；④先驗證前幾個函數的表達式，找出同期再計算求值．
解答：解：①由題設定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x-1），得f（x+2）=-f（x-1）=f（x-4），故周期是6，正確．
②對于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，即a＞x+對于任意x∈（1，3）恒成立，x+≥2等號當且僅當x==時成立，又當x=1，x+=3，x=3，x+=，故a≥故不對．
③若命題成立，則必有M≥|x|+，x∈R恒成立，這是不可能的，故不對．
④由題設f₂（x）=-，f₃（x）=，f₄（x）=，f₅（x）=f₆（x）=-x，f₇（x）=f₃（x）=，故從f₃（x）開始組成了一個以f₃（x）為首項，以周期為4重復出現，由2009=3+501*4+2得f₂₀₀₉（x）=f₅（x），故=x整理得，x²+2x-1=0，有解，故不對．
綜上，僅有①正確
故應選A．
點評：考查同期性，恒成立求參數，利用周期性求值，新定義函數的正確性驗證，本題作為一個選擇題運算量太大，且變形技巧性強，實為得分不易之題．