Question

【題目】已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F.過F的直線與拋物線C交于A、B，與拋物線C的準(zhǔn)線交于M.

（1）若|AF|=|FM|=4，求常數(shù)p的值；

（2）設(shè)拋物線C在點A、B處的切線相交于N，求動點N的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）y.

【解析】

（1）設(shè)交點F（0,）,則準(zhǔn)線方程為y,根據(jù)F為AM的中點可得y12p,即可求得；

（2）由可得,即可求得切線斜率,聯(lián)立拋物線與直線AB,根據(jù)韋達定理可得x1+x2=2pk,x1x2=﹣p2,利用點斜式直線方程可得在點的切線方程,聯(lián)立即可求得點,即可得到點的軌跡方程.

（1）由拋物線的方程可得焦點坐標(biāo)F（0,）,準(zhǔn)線方程為y,

設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2）,

因為|AF|=|FM|=4,所以F為AM的中點,所以y12p,

所以2p=4,解得p=2

（2）由y,所以,設(shè)直線AB:y=kx,

與拋物線C的方程聯(lián)立得:x2﹣2pkx﹣p2=0,則=4p2k2+4p2＞0,

所以x1+x2=2pk,x1x2=﹣p2,

則在點A處的切線方程為:y﹣y1（x﹣x1）,即py+py1=x1x,

同理可得B處的切線方程py+py2=x2x,

聯(lián)立,解得xNpk,yN,

所以N的軌跡方程為y,