Question

 

已知是偶函數，當時，，當時，恒成立.

   （Ⅰ） 若,求的最小值;

   （Ⅱ） 求的最小值；

   （Ⅲ）當時，是否存在，使得不等式對任意恒成立？若存在，求出實數的范圍；若不存在，請說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1） ,在區間上單調遞增，即，

所以，當時，

因為函數為偶函數，所以當時，

   （2）

若，則，所以函數在區間上單調遞減，即

所以，當時，，

因為函數為偶函數，所以

當時，

若，即，在區間上單調遞增，

即，

所以，當時，

因為

若，即，當時，

，

所以

若，即，當時，

，

所以

綜上所述，因為函數為偶函數，所以當時，

   （3） 當時，，．     

由（2）知，由，在上是減函數，

故在上是減函數

要使，

只要

即　　　　　　　　①                

設，則函數在上的最大值為．

要使①式恒成立，必須，即或．            

所以，在區間上存在，使得對任意的恒成立．