Question

設f（x）=2x³+ax²+bx+1的導數為f′（x），若函數y=f′（x）的圖象關于直線x=-

1

2

對稱，且f′（1）=0
（Ⅰ）求實數a，b的值
（Ⅱ）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對f（x）求導，f（x）的導數為二次函數，由對稱性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b
（Ⅱ）對f（x）求導，分別令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的單調區間，繼而確定極值．

解答：解：（Ⅰ）因f（x）=2x³+ax²+bx+1，故f′（x）=6x²+2ax+b
從而f′（x）=6(x+

a

6

)2+b-

a2

6

，即y=f′（x）關于直線x=-

a

6

對稱，
從而由條件可知-

a

6

=-

1

2

，解得a=3
又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=-12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³+3x²-12x+1
f′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2）
令f′（x）=0，得x=1或x=-2
當x∈（-∞，-2）時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-2）上是增函數；
當x∈（-2，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（-2，1）上是減函數；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數．
從而f（x）在x=-2處取到極大值f（-2）=21，在x=1處取到極小值f（1）=-6．

點評：本題考查函數的對稱性、函數的單調區間和極值，考查運算能力．