Question

已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，其準(zhǔn)線過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，且兩曲線的交點(diǎn)為（

3

2

，±

6

），試求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點(diǎn)，可得p與c的關(guān)系式，再利用拋物線與雙曲線同過交點(diǎn)（

3

2

，±

6

），列出方程，求出c、p的值，最后結(jié)合雙曲線：a²+b²=c²，求得a，b即可得到雙曲線的方程．

解答：解：由題設(shè)知，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，
其拋物線必定是以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，
∴p=2c．
設(shè)拋物線方程為y²=4c•x，
∵拋物線過點(diǎn)（

3

2

，±

6

），∴6=4c•

3

2

．
∴c=1，故拋物線方程為y²=4x．
將點(diǎn)（

3

2

，±

6

）的坐標(biāo)代入雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴

9

4a2

-

6

b2

=1．且a²+b²=c²=1，
∴

9

4a2

-

6

1-a2

=1．
∴a²=

1

4

或a²=9（負(fù)值舍去）．
∴b²=

3

4

，
故所求雙曲線方程為：4x²-

4y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線和雙曲線方程的求法、圓錐曲線的共同特征、待定系數(shù)法、方程式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．