Question

已知函數F(x)=ax³+bx²+cx(a≠0)且F′(-1)=0.

(1)若F(x)在x=1取得極小值-2，求函數F(x)的單調區間;

(2)令f(x)=F′(x),若f′(x)＞0的解集為A，且A∪(0,1)=(0,+∞)，求的范圍.

Answer 1

解:(1)∵F′(x)=ax²+2bx+c，且F′(-1)=0，∴a-2b+c=0.①

又由在x=1處取得極小值－2可知F′(1)=a+2b+c=0②

且F(1)=a+b+c=-2.③

將①②③式聯立得a=3,b=0,c=-3,

∴F(x)=x³-3x,F′(x)=3x²-3.

由F′(x)=3x²-3≥0得x≤-1,或x≥1.同理由F′(x)?=3x²-3≤0得-1≤x≤1.

∴F(x)的單調遞減區間是［-1,1］,單調遞增區間是(-∞,1］和［1,+∞).

(2)由上問知f(x)=F′(x)=ax²+2bx+c,∴f′(x)=2ax+2b,

又∵F′(-1)=0,∴a-2b+c=0.∴2b=a+c.∴f′(x)=2ax+a+c.

∵f′(x)＞0，∴2ax+a+c＞0.∴2ax＞-a-c.

∴當a＜0時，f′(x)＞0的解集是(-∞,)，顯然A∪(0,1)=(0,+∞)不成立，不滿足題意.

∴a＞0，且f′(x)＞0的解集是(,+∞).10分

又由A∪(0,1)=(0,+∞)知0≤＜1.

解得-3＜≤-1.