Question

已知某海濱浴場的海浪高達y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數，記作y＝f(t)．下表是某日各時的浪高數據.

t(時)	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y(米)	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	0.99	1.5

經長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數y＝Acosωt＋b.

(1)根據以上數據，求出函數y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數表達式；

(2)依據規定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(1)的結論，判斷一天內的上午8：00至晚上20：00之間，有多長時間可供沖浪者進行運動？

 

Answer 1

【答案】

(1) y＝cost＋1.

(2)在規定時間上午8：00至晚上2：00之間，有6個小時時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00.

【解析】

試題分析：(1)由表中數據，知周期T＝12，

∵ω＝＝＝.

由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.

由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.

∴A＝0.5，b＝1，∴振幅為，

∴y＝cost＋1.

(2)由題意知，當y>1時才可對沖浪者開放．

∴cost＋1>1，∴cost>0.

∴2kπ－<t<2kπ＋，

即12k－3<t<12k＋3.

∵0≤t≤24，故可令k分別為0、1、2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.

∴在規定時間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00.

考點：函數模型，三角函數的圖象和性質。

點評：中檔題，作為一道實際應用問題，首先應“審清題意，明確函數模型，解答數學問題”。余弦形函數的圖像和性質，可類比正弦型函數的圖象和性質加以研究。本題與不等式解法相結合，注意將數字轉化成時刻。