Question

（2013•臨沂二模）如圖，AD⊥平面ABC，AD∥CE，AC=AD=AB=1，∠BAC=90°，凸多面體ABCED的體積為

1

2

，F為BC的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求CE的長，再取BE的中點G，連結GF，GD，證明四邊形ADGF為平行四邊形，可得AF∥DG，利用線面平行的判定，即可證明AF∥平面BDE；
（Ⅱ）先證明AF⊥面BCE，根據DG∥AF，可得DG⊥面BCE，利用面面垂直的判定，即可證明平面BDE⊥平面BCE．

解答：證明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABC，AC?面ABC，AB?面ABC，
∴AD⊥AC，AD⊥AB，
∵AD∥CE，∴CE⊥AC
∴四邊形ACED為直角梯形．…（1分）
又∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∴AB⊥面ACED．…（2分）
∴凸多面體ABCED的體積V=

1

3

SACED•AB=

1

3

×

1

2

×(1+CE)×1×1=

1

2

∴CE=2．…（3分）
取BE的中點G，連結GF，GD，則GF∥EC，GF=

1

2

CE=1，
∴GF∥AD，GF=AD，四邊形ADGF為平行四邊形，
∴AF∥DG．…（5分）
又∵GD?面BDE，AF?面BDE，
∴AF∥平面BDE．…（7分）
（Ⅱ）∵AB=AC，F為BC的中點，∴AF⊥BC．…（8分）
由（Ⅰ）知AD⊥平面ABC，AD∥GF，∴GF⊥面ABC．
∵AF?面ABC，∴AF⊥GF．…（9分）
又BC∩GF=F，∴AF⊥面BCE．…（10分）
又∵DG∥AF，∴DG⊥面BCE．…（11分）
∵DG?面BDE，∴面BDE⊥面BCE．…（12分）

點評：本題考查線面平行、面面垂直，考查幾何體體積的計算，正確運用線面平行、面面垂直的判定方法是關鍵．