Question

【題目】已知函數.

（1）當時,求在區間上的最大值和最小值;

（2）若在區間上, 函數的圖象恒在直線下方, 求的取值范圍;

（3）設.當時, 若對于任意,存在,使,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）先求導數，再求定義區間上的零點，列表分析單調性，比較區間端點值大小，確定函數最值（2）原題等價于在區間上恒成立.利用導數研究單調性：由于，所以根據導函數零點討論：若,在區間上是減函數, 若,有增有減，再結合，所以不滿足題意，只有時（3）對于任意,存在,使,等價于，實際上求最值：，再變量分離得的最大值，利用導數可得的最大值，從而有

試題解析：（1）當時,,當,有;當,有,在區間上是增函數, 在上為減函數, 又,.

（2）令,則的定義域為,在區間上, 函數的圖象恒在直線下方等價于在區間上恒成立.

①

① 若,令,得極值點,上有,此時在區間上是增函數, 并且在該區間上有,不合題意, 當,即時, 同理可知, 在區間上, 有,也不合題意,

②若,則有,此時在區間上恒有,從而在區間上是減函數, 要使在此區間上恒成立, 只須滿足,由此求得的取值范圍是. 綜合① ②可知, 當時, 函數的圖象恒在直線下方.

（3）當時, 由（2）中 ① 知在上是增函數, 在上是減函數, 所以對任意都有,又已知存在,使,即存在,使,即存在,,即存在,使.

,解得,所以實數的取值范圍是.